Question

已知曲线f（x）=Asin（ωx+ϕ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）上的一个最高点的坐标为（

π

8

，2），此点相邻的一个对称中心坐标为（

3π

8

，

1

2

），
（1）求函数f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出此函数f（x）在[-

π

8

，

7π

8

]上图象．
（3）如何由函数f（x）的图象通过适当的变换得到函数y=sinx的图象，写出变换过程．

Answer 1

考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：图表型,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用函数图象经过的最高点可得A=2，求出函数的周期，即可求出ω，利用函数经过的特殊点求出φ，B，即可求出解析式；
（2）根据五点法作图的方法先取值，然后描点即可得到图象．
（3）利用平移规律及图象变换规律即可得到结果．

解答： （本题12分）
解：（1）∵曲线f（x）=Asin（ωx+ϕ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）上的一个最高点的坐标为（

π

8

，2），
∴A=2
∵此点相邻的一个对称中心坐标为（

3π

8

，

1

2

），∴T=4×（

3π

8

-

π

8

）=π，所以ω=2，
∵对称中心坐标为（

3π

8

，

1

2

），
∴B=

1

2

，φ=kπ-

3π

4

，k∈Z
∵|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

4

∴函数f（x）的表达式为y=

3

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

  …（4分）
（2）列表：…（6分）

x	- π 8	π 8	3π 8	5π 8	7π 8
2x+ π 4	0	π 2	π	3π 2	2π
y	1 2	2	1 2	-1	1 2

描点、连线如图所示．…（8分）

（3）y=

3

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

 向下平移

1

2

个单位得到y=

3

2

sin（2x+

π

4

）的图象，横坐标不变，纵坐标变为原来的

2

3

倍得到y=sin（2x+

π

4

）的图象，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到y=sin（x+

π

4

）的图象，向右平移

π

4

即可得到y=sinx的图象．（注：位置可变，参照给分） …（12分）

点评：本题主要考察了五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考察．