Question

二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（x）为二次函数且f（0）=f（2），
∴对称轴为x=1．
又∵f（x）最小值为1，
∴可设f（x）=a（x-1）²+1，（a＞0）
∵f（0）=3，
∴a=2，
∴f（x）=2（x-1）²+1，即f（x）=2x²-4x+3．
（2）由条件知f（x）的对称轴x=1穿过区间（2a，a+1）
∴2a＜1＜a+1，
∴0＜a＜．
分析：（1）由二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3，可求得其对称轴为x=1，可设f（x）=a（x-1）²+1　（a＞0），由f（0）=3，可求得a，从而可得f（x）的解析式；
（2）由f（x）的对称轴x=1穿过区间（2a，a+1）可列关系式求得a的取值范围．
点评：本题考查二次函数的性质，着重考查二次函数的图象与性质，考查待定系数法，属于中档题．