Question

（2010•淄博一模）设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1）．
（Ⅰ）求数列数列{a_n}的通项公式a_n，
（Ⅱ）设数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n，求证

1

5

≤Tn＜

1

4

．

Answer 1

分析：（I）由S_n=na_n-2n（n-1）结合通项和前n项和的关系，转化为a_n+1-a_n=4（n≥2）再由等差数列的定义求解，要注意分类讨论．
（II）利用裂项求和法求出Tn=

1

a1a2

+…+

1

anan+1

=

1

4

(1-

1

4n+1

)＜

1

4

，又易知T_n单调递增，
则Tn≥T1=

1

5

，从而证得结论．

解答：解：（I）由S_n=na_n-2n（n-1）
得a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）a_n+1-na_n-4n
即a_n+1-a_n=4…（4分）∴数列{a_n}是以1为首项，4为公差的等差数列∴a_n=4n-3．…（6分）
（II）Tn=

1

a1a2

+…+

1

anan+1

=

1

1×5

+

1

5×9

+

1

9×13

+…+

1

(4n-3)×(4n+1)

=

1

4

(1-

1

5

+

1

5

-

1

9

+

1

9

-

1

13

+…+

1

4n-3

-

1

4n+1

)=

1

4

(1-

1

4n+1

)＜

1

4

…（10分）
又易知T_n单调递增，
故Tn≥T1=

1

5

，
得

1

5

≤Tn＜

1

4

．…（12分）

点评：本题主要考查数列的转化与通项公式和求和方法，这里涉及了通项与前n项和之间的关系及裂项求和法，这是数列考查中常考常新的问题，要熟练掌握．