Question

17．已知sinθ、cosθ是关于x的方程x²-ax+a=0的两个根．求：
（1）sin³θ+cos³θ；
（2）tanθ+cotθ．（注cotθ=$\frac{1}{tanθ}$）

Answer 1

分析 （1）由条件利用一元二次方程根与系数的关系求得sinθ+cosθ 和sinθ•cosθ 的值，再利用立方和公式求得sin³θ+cos³θ的值．再利用同角三角函数的基本关系求得a的值，从而得出结论．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得tanθ+cotθ的值．

解答 解：由于sinθ、cosθ是关于x的方程x²-ax+a=0的两个根，∴sinθ+cosθ=a，sinθ•cosθ=a，
∴1+2a=a²，求得a=1+$\sqrt{2}$（舍去），或a=1-$\sqrt{2}$．
∴（1）sin³θ+cos³θ=（sinθ+cosθ ）（1-sinθ•cosθ ）=a•（1-a）=1-$\sqrt{2}$-（3-2$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$-2．
（2）tanθ+cotθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$+$\frac{cosθ}{sinθ}$=$\frac{1}{sinθcosθ}$=$\frac{1}{a}$=-1-$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，同角三角函数的基本关系，属于基础题．