Question

12．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，|PF|=4．
（1）求抛物线的方程；
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（y_i≤0，i=1，2）是抛物线上的两点，∠APB的角平分线与x轴垂直，求直线AB的斜率；
（3）在（2）的条件下，若直线AB过点（1，-1），求弦AB的长．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的准线方程，求得P的坐标，运用抛物线的定义，可得p的方程，解方程可得p，进而得到抛物线的方程；
（2）由题意可得A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{8}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{8}$，y₂），P（2，4），由题意可得直线PA，PB的斜率互为相反数，运用直线的斜率公式即可得到所求直线的斜率；
（3）运用点斜式方程，可得直线AB的方程，联立抛物线方程，求得交点坐标，由两点的距离公式，计算即可得到所求．

解答 解：（1）抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
由题意可得P（$\frac{8}{p}$，4），由抛物线的定义可得|PF|=$\frac{8}{p}$+$\frac{p}{2}$=4，
解得p=4，即有抛物线的方程为y²=8x；
（2）由题意可得A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{8}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{8}$，y₂），P（2，4），
∠APB的角平分线与x轴垂直，可得直线PA，PB的斜率互为相反数，
即有k_PA+k_PB=0，即$\frac{{y}_{1}-4}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{8}-2}$+$\frac{{y}_{2}-4}{\frac{{{y}_{2}}^{2}}{8}-2}$=0，
化简可得y₁+y₂=-8，
则直线AB的斜率为k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{8}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{8}}$=$\frac{8}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{8}{-8}$=-1；
（3）直线AB的方程为y+1=-（x-1），即为y=-x，
代入抛物线的方程y²=8x，
可得x²=8x，解得交点为（0，0），（8，-8），
即有弦长为$\sqrt{{8}^{2}+{8}^{2}}$=8$\sqrt{2}$．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程的运用，以及直线的斜率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．