Question

如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AA₁=BC=4，AC=3，AB=5．
（Ⅰ）求证：AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求B₁C与平面ABB₁A₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明AC⊥BC₁，只需证明AC⊥平面BC₁，利用线面垂直的判定，只需证明AC垂直于平面中的两条相交直线；
（Ⅱ）过C作CD⊥AB，连接B₁D，则可得∠CB₁D是B₁C与平面ABB₁A₁所成角，求出CD、B₁C，即可求得B₁C与平面ABB₁A₁所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，
∴CC₁⊥平面ABC，
∵AC?平面ABC，∴CC₁⊥AC
∵BC=4，AC=3，AB=5，∴AC⊥BC
∵CC₁∩BC=C，∴AC⊥平面BC₁，
∵BC₁?平面BC₁，∴AC⊥BC₁；
（Ⅱ）解：过C作CD⊥AB，连接B₁D，则

∵AA₁⊥平面ABC，AA₁?平面A₁B，∴平面ABC⊥平面A₁B
∵CD⊥AB，∴CD⊥平面A₁B
∴∠CB₁D是B₁C与平面ABB₁A₁所成角
∵BC=4，AC=3，AB=5，∴3×4=5×CD，∴CD=

12

5

∵AA₁=BC=4，∴B₁C=4

2

∴sin∠CB₁D=

CD

B1C

=

12 5

4 2

=

3 2

10

点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定与性质，正确作出线面角．