Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，F₁、F₂分别为左、右焦点，椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且||=2．
（1）求椭圆方程；
（2）对于x轴上的某一点T，过T作不与坐标轴平行的直线L交椭圆于P、Q两点，若存在x轴上的点S，使得对符合条件的L恒有∠PST=∠QST成立，我们称S为T的一个配对点，当T为左焦点时，求T 的配对点的坐标；
（3）在（2）条件下讨论当T在何处时，存在有配对点？

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆的顶点为P，由||=2=2c可得c=1，由PF₁=PF₂=2结合椭圆的定义可得2a，结合b²=a²-c^2可求椭圆的方程
（2）可设过T的直线方程为y=k（x+1），（k≠0），联立椭圆方程整理可得（3+4k²）x²+8k²x+4（k²-3）=0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），S （a，0），由∠PST=∠QST 可得k_PS=-K_QS即，结合方程的根与系数的关系代入可求a
（3）设T（x，0），直线PQ的方程y=k（x-x），S （a，0），使得对符合条件的L恒有∠PST=∠QST成立，则T必须在P，Q 之间即-2＜x＜2
同（2）的整理方法，联立直线与椭圆方程由∠PST=∠QST可得，2x₁x₂-（a+x）（x₁+x₂）+2ax=0，同（2）的方法一样代入可求
解答：解：（1）设椭圆的顶点为P，由||=2=2c可得c=1
PF₁=PF₂=2可得2a=4
∴a=2，b²=a²-c²=3
椭圆的方程为：
（2）∵T（-1，0），
则过可设过T的直线方程为y=k（x+1），（k≠0），
联立椭圆方程整理可得（3+4k²）x²+8k²x+4（k²-3）=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），S （a，0），则，
∵∠PST=∠QST∴k_PS=-K_QS
∴
∴
整理可得2x₁x₂+（1-a）（x₁+x₂）-2a=0
即
∴a=-4
（3）设T（x，0），直线PQ的方程y=k（x-x），S （a，0）
使得对符合条件的L恒有∠PST=∠QST成立，则T必须在P，Q 之间即-2＜x＜2
同（2）的整理方法，联立直线与椭圆方程可得，，
由∠PST=∠QST可得，2x₁x₂-（a+x）（x₁+x₂）+2ax=0
同（2）的方法一样代入可求a=
点评：本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆的方程，及直线与椭圆的相交关系的 应用，解题的关键是具备一定的逻辑推理与运算的能力．