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已知数列{an},其前n项和为Sn
(1)若对任意的n∈N,a2n﹣1,a2n+1,a2n组成公差为4的等差数列,且,求n的值;
(2)若数列{}是公比为q(q≠﹣1)的等比数列,a为常数,求证:数列{an}为等比数列的充要条件为

(1)1005
(2)由+a=(a+1)qn﹣1,可求得Sn=(a+1)qn﹣1an﹣aan,Sn+1=(a+1)qnan+1﹣aan+1,两式相减得(a+1)(1﹣qn)an+1=[a﹣(a+1)qn﹣1]an,若q=1+,可证得数列{an}为等比数列,(充分性);若数列{an}为等比数列,可证得q=1+,(必要性).

解析试题分析:(1)因为a2n﹣1,a2n+1,a2n组成公差为4的等差数列,
所以a2n+1﹣a2n﹣1=4,a2n=a2n﹣1+8(n∈N*),…(2分)
所以a1,a3,a5,…a2n﹣1,a2n+1是公差为4的等差数列,且a2+a4+a6+…+a2n=a1+a3+…+a2n﹣1+8n,…(4分)
又因为a1=1,
所以S2n=2(a1+a3+…+a2n﹣1)+8n
=2[n+×4]+8n=4n2+6n=2n(2n+3),
所以=2n+3=2013,所以n=1005.…(6分)
(2)因为+a=(a+1)qn﹣1,所以Sn=(a+1)qn﹣1an﹣aan,①
所以Sn+1=(a+1)qnan+1﹣aan+1,②
②﹣①,得(a+1)(1﹣qn)an+1=[a﹣(a+1)qn﹣1]an,③…(8分)
(ⅰ)充分性:因为q=1+,所以a≠0,q≠1,a+1≠aq,代入③式,得
q(1﹣qn)an+1=(1﹣qn)an,因为q≠﹣1,q≠1,
所以=,n∈N*,所以{an}为等比数列,…(12分)
(ⅱ)必要性:设{an}的公比为q0,则由③得(a+1)(1﹣qn)q0=a﹣(a+1)qn﹣1
整理得(a+1)q0﹣a=(a+1)(q0)qn,…(14分)
此式为关于n的恒等式,若q=1,则左边=0,右边=﹣1,矛盾;
若q≠±1,当且仅当时成立,所以q=1+
由(ⅰ)、(ⅱ)可知,数列{an}为等比数列的充要条件为q=1+.…(16分)
考点:等差数列与等比数列的综合
点评:本题考查等差数列与等比数列的综合,考查等差数列的求和与等比数列的分析确定,考查充分必要条件的推理论证,属于难题.

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