Question

（2012•珠海二模）已知函数f（x）=-cosx，g（x）=2x-π，数列{x_n}满足：x₁=a（a∈[

π

6

，

5π

6

]），g（x_n+1）=

2

n

f（x_n）n∈N^*．
（1）当a=

π

2

时，求x₂，x₃的值并写出数列{x_n}的通项公式（不要求证明）；
（2）求证：当x≥0时，-x≤f′（x）≤x；
（3）求证：|x1-

π

2

|+|x2-

π

2

|+|x3-

π

2

|+…+|xn+1-

π

2

|＜π（n∈N^*．

Answer 1

分析：（1）当a=

π

2

时，函数f（x）=-cosx，g（x）=2x-π，由g（x_n+1）=

2

n

f（x_n）n∈N^*，得xn+1-

π

2

=-

1

n

cosxn，故x2=

π

2

．x3=

π

2

．由此猜想：xn=

π

2

．
（2）设F（x）=f′（x）-x=sinx-x，则F′（x）=cosx-1≤0，故F（x）≤F（0）=0，f′（x）≤x，由此能够证明当x≥0时，-x≤f′（x）≤x．
（3）当x≥0时，|f′（x）|≤|x|，当x＜0时，|f′（x）|≤|x|，对?x∈R，恒有：|f′（x）|≤|x．由此入手能够证明|x1-

π

2

|+|x2-

π

2

|+|x3-

π

2

|+…+|xn+1-

π

2

|＜π（n∈N^*．

解答：（1）解：当a=

π

2

时，
∵函数f（x）=-cosx，g（x）=2x-π，
∴由g（x_n+1）=

2

n

f（x_n）n∈N^*，
得xn+1-

π

2

=-

1

n

cosxn，
∵x1=

π

2

，
∴x2-

π

2

=-cos

π

2

=0，∴x2=

π

2

．
x3-

π

2

=-

1

2

cos 

π

2

=0，∴x3=

π

2

．
由此猜想：xn=

π

2

．…（2分）
（2）证明：设F（x）=f′（x）-x=sinx-x，
则F′（x）=cosx-1≤0，
∴F（x）在[0，+∞）上为减函数，即F（x）≤F（0）=0，
即f′（x）≤x，…（4分）
设H（x）=f′（x）+x=sinx+x，则H′（x）=cosx+1＞0，
∴H（x）在[0，+∞）上为增函数，
即H（x）≥H（0）=0，即f′（x）≥-x，…（5分）
∴当x≥0时，-x≤f′（x）≤x．                  …（6分）
（3）证明：由（1）知：当x≥0时，|f′（x）|≤|x|，
同理可证：当x＜0时，|f′（x）|≤|x|，即对?x∈R，恒有：|f′（x）|≤|x|．…（7分）
由g（x_n+1）=

2

n

f（x_n）n∈N^*，
得xn+1-

π

2

=-

1

n

cosxn，
∴|xn+1-

π

2

|=|-

1

n

cosxn|
=|

1

n

sin(xn-

π

2

)|
≤

1

n

|xn-

π

2

| （n∈N^*）    …（8分）
∴|xn-

π

2

|≤ 

1

n-1

|xn-1-

π

2

|，
|xn-1-

π

2

|≤

1

n-2

|xn-2-

π

2

|，…，|x2-

π

2

|≤|xn-

π

2

|，
从而|xn-

π

2

|≤

1

(n-1)!

|a-

π

2

|，…（10分）
|x1-

π

2

|+|x2-

π

2

|+|x3-

π

2

|+…+|xn+1-

π

2

|
≤[

1

1!

+

1

1!

+

1

2!

+

1

3!

+…+

1

n!

]•|a-

π

2

| •|a-

π

2

|…（11分）
≤[1+1+

1

2

+

1

22

+…+ 

1

2 n-1

]•|a-

π

2

|
=[1+2（1-

1

2 n

）]•|a-

π

2

|
=[3-

1

2 n-1

]•|a-

π

2

|，…（13分）
＜3|a-

π

2

|＜π，a∈[

π

6

，

5π

6

]，
∴|x1-

π

2

|+|x2-

π

2

|+|x3-

π

2

|+…+|xn+1-

π

2

|＜π（n∈N^*． …（14分）

点评：本题考查数列与不等式的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．