Question

由函数y=f（x）确定数列{a_n}，a_n=f（n），函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）能确定数列b_n，b_n=f^-1（n）若对于任意n∈N^*都有b_n=a_n，则称数列{b_n}是数列{a_n}的“自反函数列”
（1）设函数f（x）=

px+1

x+1

，若由函数f（x）确定的数列{a_n}的自反数列为{b_n}，求a_n；
（2）已知正整数列{c_n}的前项和s_n=

1

2

（c_n+

n

cn

）．写出S_n表达式，并证明你的结论；
（3）在（1）和（2）的条件下，d₁=2，当n≥2时，设d_n=

-1

anSn2

，D_n是数列{d_n}的前n项和，且D_n＞log_a（1-2a）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：解：（1）由f（x）=

px+1

x+1

结合b_n=f^-1（n）若对于任意n∈N^*都有b_n=a_n求解，
（2）由正整数c_n的前n项和sn=

1

2

(cn+

n

cn

)则由通项与前n项和之间的关系求解，要注意分类讨论；
（3）在（1）和（2）的条件下，d₁=2，∴D₁=2，则n≥2时，dn=

-1

an s n 2

=

2

n(n-1)

，由D_n是数列d_n的前n项和有D_n=₁+d₂+…+d_n用裂项相消法求解Dn=2(2-

1

n

)，再由D_n＞log_a（1-2a）恒成立，即log_a（1-2a）小于D_n的最小值，只要求得D_n的最小值即可．

解答：解：（1）由题意得
f′(x)=

1-x

X-P

∵f(x)= 

PX+1

X+1

 且f-1(n)=f (n)
∴P=-1∴an=

n-1

n+1

（2）∵正整数c_n的前n项和sn=

1

2

(cn+

n

cn

)
∴c1=

1

2

(c1+

n

c1

)
解之得∴c₁=1，s₁=1
当n≥2时，c_n=s_n-s_n-1
∴2sn=sn-sn-1+

n

sn-sn-1

∴sn+sn-1=

n

sn-sn-1

s_n²-s_n-1²=n
∴s_n-1²-s_n-2²=n-1
s_n-2²-s_n-2²=n-2
s₂²-s₁²=2
以上各式累加，得∴sn2 =1+2+3+4+…+n=

n(n+1)

2

，sn=

n(n+1) 2

（3）在（1）和（2）的条件下，d₁=2∴D₁=2
当n≥2时，设dn=

-1

an s n 2

=

2

n(n-1)

，由D_n是数列d_n的前n项和
有D_n=₁+d₂+…+d_n
=2[1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)…(

1

n-1

-

1

n

)]
=2(2-

1

n

)
综上Dn=2(2-

1

n

)
因为D_n＞log_a（1-2a）恒成立，所以log_a（1-2a）小于D_n的最小值，
显然D_n的最小值在n=1时取得，即[D_n]_min=2
∴log_a（1-2a）＜2
∴a满足的条件是

a＞0且a≠1 1-2a＞0

，∴log_a（1-2a）＜2
解得0＜a＜

2

-1

点评：本题一道新定义题，考查了反函数的求法，数列通项与前n项和间的关系以及累加法求通项和裂项相消法求前n项和等知识和方法，综合性较强．