Question

椭圆的一个焦点F与抛物线y²=4x的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为45°的直线l过点F．
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为F₁，问抛物线y²=4x上是否存在一点M，使得M与F₁关于直线l对称，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）确定抛物线y²=4x的焦点与准线方程为x=-1，利用椭圆焦点F与抛物线y²=4x的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，建立方程，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）根据倾斜角为45°的直线l过点F，可得直线l的方程，由（Ⅰ）知椭圆的另一个焦点为F₁（-1，0），利用M（x，y）与F₁关于直线l对称，可得M的坐标，由此可得结论．
解答：解：（Ⅰ）抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=-1，（2分）
∴a²-b²=1  ①（3分）
又椭圆截抛物线的准线x=-1所得弦长为，∴得上交点为，
∴  ②（4分）
由①代入②得2b⁴-b²-1=0，解得b²=1或（舍去），
从而a²=b²+1=2
∴该椭圆的方程为     （6分）
（Ⅱ）∵倾斜角为45°的直线l过点F，
∴直线l的方程为y=x-1，（7分）
由（Ⅰ）知椭圆的另一个焦点为F₁（-1，0），设M（x，y）与F₁关于直线l对称，（8分）
则得 （10分）  
解得，即M（1，-2）
又M（1，-2）满足y²=4x，故点M在抛物线上．   （11分）
所以抛物线y²=4x上存在一点M（1，-2），使得M与F₁关于直线l对称．（12分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查点关于线的对称问题，解题的关键是利用抛物线及弦长建立方程，属于中档题．