Question

在一次数学研究性学习中，老师给了下列三个等式：
①sin²5°+sin²65°+sin²125°=a；
②sin²10°+sin²70°+sin²130°=a；
③sin²（-70°）+sin²（-10°）+sin²50°=a．
（1）请你根据以上所给的等式写出一个具有一般性的等式，并求出实数a的值；
（2）证明你写的等式．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：综合题,推理和证明

分析：分析已知条件中：sin²5°+sin²65°+sin²125°=

3

2

，我们可以发现等式左边参加累加的三个均为正弦的平方，且三个角组成一个以60°为公差的等差数列，右边是常数，由此不难得到结论．

解答： 解：由已知中sin²5°+sin²65°+sin²125°=

3

2

．
归纳推理的一般性的命题为：sin²（α-60°）+sin²α+sin²（α+60°）=

3

2

．
证明如下：
左边=

1-cos(2α-120°)

2

+

1-cos2α

2

+

1-cos(2α+120°)

2

=

3

2

-

1

2

[cos（2α-120°）+cos2α+cos（2α+120°）]
=

3

2

=右边．
∴结论正确．

点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），（3）论证．