Question

【题目】已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，过焦点垂直与x轴的直线被椭圆E截得的线段长为 ．
（1）求椭圆E的方程；
（2）斜率为k的直线l经过原点，与椭圆E相交于不同的两点M，N，判断并说明在椭圆E上是否存在点P，使得△PMN的面积为 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意， ，得c=1，∴b2=a2﹣c2=1．

则椭圆E的方程为：

（2）解：存在．

设点P（x，y），直线l的方程为y=x﹣1．

由 ，得M（0，﹣1），N（ ），

则|MN|= ．

则点P到直线l的距离为 ．

设过点P与直线l平行的直线l1：y=x+m．

联立 ，得3x2+4mx+2m2﹣2=0．

由△=16m2﹣12（2m2﹣2）=0，解得m= ．

当m= 时，l与l1之间的距离为 ＞1；

当m=﹣ 时，l与l1之间的距离为 ＜1．

则在椭圆E上存在点P，使得△PMN的面积为

【解析】（1）由题意求得a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）设出P点坐标及直线l的方程，由△PMN的面积为 求得点P到直线l的距离为1，再设出过点P与直线l平行的直线l1：y=x+m．与椭圆方程联立，由判别式等于0求得m值，再结合两平行线间的距离公式求出l与l1之间的距离，与1比较得答案．