Question

若a，b∈R，且4≤a²+b²≤9，则a²-ab+b²的范围是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：换元法,不等式的解法及应用

分析：根据题意，设a=rcosθ，b=rsinθ，2≤r≤3，利用参数法求出a²-ab+b²的取值范围．

解答： 解：∵a，b∈R，且4≤a²+b²≤9；
∴设a=rcosθ，b=rsinθ，且2≤r≤3，
∴s=a²-ab+b²=r²cos²θ-r²sinθcosθ+r²sin²θ
=r²（1-sinθcosθ）=r²（1-

1

2

sin2θ），
由三角函数的图象与性质，得；
当sin2θ取最大值1且r取最小值2时，s取得最小值2，
当sin2θ取最小值-1且r取最大值3时，s取得最大值

27

2

；
综上，a²-ab+b²的范围是[2，

27

2

]．
故答案为：[2，

27

2

]．

点评：本题考查了不等式的应用问题，解题时应利用换元法，把问题转化为求三角函数的取值范围的应用问题，是综合题目．