Question

如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D．设CP=x，△CPD的面积为f（x）．则f（x）的定义域为

 

；f（x）的最大值为

 

．

Answer 1

分析：本题要根据实际情况计算出定义域与函数的零点，可以看出所给的条件是△CPD，故可根据其是三角形求出自变量的范围．面积表达式可以用海伦公式求出，对所得的函数求导，令导数为0，根据函数的调调性可求出函数的最大值．

解答：解：由题意，DC=2，CP=x，DP=6-x
∵△CPD，∴

2+x＞6-x 2+6-x＞x x+6-x＞2

解得x∈（2，4）
如图，三角形的周长是一个定值8，
故其面积可用海伦公式表示出来即f（x）=

4×(4-x)×(4-6+x)×2

=

-8x2+48x-64

∴f′（x）=

-16x+48

-8x2+48x-64

令 f′（x）=0，解得x=3
∵x∈（2，3）f'（x）＞0，x∈（3，4）f'（x）＜0
∴f（x）的最大值为f（3）=2

2

故答案为（2，4）；2

2

．

点评：本题考查根据实际问题选择函数类型，本题中求函数解析式用到了海伦公式，学习中积累一些知识储备，视野开阔，易找出简单的解题方法．本题考查到了复合函数求导公式，有一定的综合性．