Question

在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q，每列上的数从上到下都成等差数列．a_ij表示位于第i行第j列的数，其中a24=

1

8

，a₄₂=1，a54=

5

16

．

（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）求a_ij的计算公式；
（Ⅲ）设数列{b_n}满足b_n=a_nn，{b_n}的前n项和为S_n，试比较S_n与T_n=

6n+11

5(n+1)

（ n∈N^*）的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用a24=

1

8

和a54=

5

16

求出a₄₄，再利用每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q来求公比即可．
（Ⅱ）先求出a_i4，然后在利用第i行成等比数列，且公比q=

1

2

，即可求出a_ij的计算公式；
（Ⅲ）有（Ⅱ）的结论求出b_n的通项，再利用错位相减法求出S_n，然后研究出S_n与T_n=

6n+11

5(n+1)

对应的函数的单调性，利用单调性来比较S_n与T_n=

6n+11

5(n+1)

的大小即可．

解答：解：（Ⅰ）设第4列公差为d，则d=

a54-a24

5-2

=

5 16 - 1 8

3

=

1

16

．
故a44=a54-d=

5

16

-

1

16

=

1

4

，于是q2=

a44

a42

=

1

4

．
由于a_ij＞0，所以q＞0，故q=

1

2

．（3分）
（Ⅱ）在第4列中，ai4=a24+(i-2)d=

1

8

+

1

16

(i-2)=

1

16

i．
由于第i行成等比数列，且公比q=

1

2

，
所以，aij=ai4•qj-4=

1

16

i•(

1

2

)j-4=i•(

1

2

)j．（6分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知ann=n(

1

2

)n．即b_n=n(

1

2

)n．
所以S_n=b₁+b₂+b₃++b_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃++a_nn．
即Sn=1•

1

2

+2•(

1

2

)2+3•(

1

2

)3++(n-1)•(

1

2

)n-1+n•(

1

2

)n，
故

1

2

Sn=1•(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+3•(

1

2

)4++(n-1)•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1．
两式相减，得

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3++(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-n•(

1

2

)n+1=1-(

1

2

)n-n(

1

2

)n+1，
所以Sn=2-

1

2n-1

-

n

2n

．（8分）
设f（x）=2-

1

2x-1

-

x

2x

（x＞0），
即f（x）=2-

2

2x

-

x

2x

=2-

2+x

2x

=2-（2+x）2^-x．
因为f′（x）=-[2^-x+（2+x）2^-x（-1）ln2]=2^-x[（2+x）ln2-1]
=2^-x[ln2^2+x-lne]=2^-xln

22+x

e

，
且当x＞0时，x+2＞2．所以2^2+x＞2²=4．
于是

22+x

e

＞

4

e

＞1．
所以ln

22+x

e

＞0．
又2^-x＞0，
所以在（0，+∞）上f′（x）=2^-xln

22+x

e

＞0．
因此函数f（x）=2-

1

2x-1

-

x

2x

在（0，+∞）单调递增．
所以Sn=2-

1

2n-1

-

n

2n

（n∈N*）是递增数列．（10分）
同理设g（x）=

6x+11

5(x+1)

（x＞0），
因为g′（x）=

1

5

•

6(x+1)-(6x+11)

(x+1)2

=-

1

(x+1)2

＜0（x＞0），
故g（x）=

6x+11

5(x+1)

在（0，+∞）单调递减．
所以T_n=

6n+11

5(n+1)

（n∈N*）是递减数列．（12分）
容易计算S₁=f（1）=

1

2

，S₂=f（2）=1，S₃=f（3）=1

3

8

，S₄=f（4）=1

5

8

，
T₁=g（1）=1

7

10

，T₂=g（2）=1

8

15

，T₃=g（3）=1

9

20

，T₄=g（4）=1

2

5

，
显然S₁＜T₁，S₂＜T₂，S₃＜T₃，S₄＞T₄，
所以当n≤3时，S_n＜T_n；当n＞3时，S_n＞T_n．（14分）

点评：本题是对等差数列和等比数列的综合考查．并考查了数列求和的错位相减法．以及数列与函数的综合．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．