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如图,椭圆的中心在坐标原点,长轴端点为A、B,右焦点为F,且
AF
FB
=1
|
OF
|=1

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过椭圆的右焦点F作直线l1,l2,直线l1与椭圆分别交于点M、N,直线l2与椭圆分别交于点P、Q,且|
MP
|2+|
NQ
|2=|
NP
|2+|
MQ
|2
,求四边形MPNQ的面积S的最小值.
分析:(Ⅰ)设椭圆的方程,利用
AF
FB
=1
|
OF
|=1
,确定几何量,从而可得椭圆的方程;
(Ⅱ)利用|
MP
|2+|
NQ
|2=|
NP
|2+|
MQ
|2
,确定l1⊥l2. 再分类讨论,分别计算四边形MPNQ的面积,利用基本不等式,可确定四边形形MPNQ的面积S的最小值.
解答:解:(Ⅰ)设椭圆的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),
则由题意知c=1,
又∵
AF
FB
=1

∴(a+c)(a-c)=1=a2-c2
∴a2=2
∴b2=a2-c2=1,
故椭圆的方程为:
x2
2
+y2=1

(Ⅱ)设M(xM,yM),N(xN,yN),P(xP,yP),Q(xQ,yQ).
则由题意:|
MP
|2+|
NQ
|2=|
NP
|2+|
MQ
|2

整理得:(xN-xM)(xP-xQ)+(yN-yM)(yP-yQ)=0.
所以l1⊥l2. 
①若直线l1,l2中有一条斜率不存在,不妨设l2的斜率不存在,则可得l2⊥x轴,
∴|MN|=2
2
,|PQ|=
2

故四边形MPNQ的面积S=
1
2
|PQ||MN|=
1
2
×2
2
×
2
=2

②若直线l1,l2的斜率存在,设直线l1的方程:y=k(x-1)(k≠0),则
代入椭圆方程,消去y可得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=
4k2
2k2+1
,x1x2=
2k2-2
2k2+1

∴|MN|=
1+k2
×
(x1+x2)2-4x1x2
=
1+k2
×
(
4k2
2k2+1
)
2
-4×
2k2-2
2k2+1
=
2
2
(1+k2)
2k2+1

同理可求得,|PQ|=
2
2
(1+k2)
2+k2

故四边形MPNQ的面积:S=
1
2
|PQ||MN|=
1
2
×
2
2
(1+k2)
2k2+1
×
2
2
(1+k2)
2+k2
=
4
2+
1
k2+
1
k2
+2
16
9

当且仅当k=±1时,取“=”.
综上,四边形形MPNQ的面积S的最小值为
16
9
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查向量知识的运用,考查基本不等式的运用,考查分类讨论的数学思想,正确表示四边形的面积是关键.
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5
2
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5
2

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