Question

（2013•兰州一模）已知函数f（x）是R上的偶函数，且满足f（5+x）=f（5-x），在[0，5]上有且只有f（1）=0，则f（x）在[-2013，2013]上的零点个数为（　　）

A．808

B．806

C．805

D．804

Answer 1

分析：分析：确定函数关于直线x=5对称且以10为周期，利用函数在[0，5]上只有f（1）=0，可得在[0，10]上有两个零点，结合偶函数的对称性及周期，由此可得结论．

解答：解：∵f（5+x）=f（5-x），
∴函数关于直线x=5对称，f（10+x）=f（-x），
∵函数f（x）是（-∞，+∞）上的偶函数，f（-x）=f（x）
∴f（10+x）=f（x），即函数以10为周期
∵在[0，5]上只有f（1）=0，∴在[0，10]上有两个零点
∵2012=201×10+2
∴f（x）在[0，2012]上的零点的个数为403
∵函数f（x）是（-∞，+∞）上的偶函数，
∴f（x）在[-2012，2012]上的零点的个数为806
故选B

点评：本题考查函数的零点，考查函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．