Question

3．在△ABC中，$\sqrt{3}tanC-1=\frac{tanB+tanC}{tanA}$，
（1）求角B的值；
（2）若b=3，sinC=2sinA，求边长a、c的值．

Answer 1

分析 （1）由已知式子和两角和的正切公式变形可得tanB，可得B值；
（2）由正弦定理和已知可得c=2a，再由余弦定理可得a值，可得c值．

解答 解：（1）∵在△ABC中，$\sqrt{3}tanC-1=\frac{tanB+tanC}{tanA}$，
∴tanB+tanC=tanA（$\sqrt{3}$tanC-1），
∴tanB=$\sqrt{3}$tanAtanC-（tanA+tanC）
=$\sqrt{3}$tanAtanC-tan（A+C）（1-tanAtanC），
∴tanB=$\sqrt{3}$tanAtanC+tanB（1-tanAtanC），
∴tanB-tanB（1-tanAtanC）=$\sqrt{3}$tanAtanC，
∴tanBtanAtanC=$\sqrt{3}$tanAtanC，
∴tanB=$\sqrt{3}$，∴B=$\frac{π}{3}$，
（2）∵sinC=2sinA，∴由正弦定理得c=2a，
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，
代入数据可得$9={a^2}+4{a^2}-2a•2acos\frac{π}{3}$，
解得$a=\sqrt{3}$，∴$c=2a=2\sqrt{3}$．

点评 本题考查解三角形，涉及正余弦定理的综合应用以及两角和与差的正切函数的变形应用，属中档题．