Question

17．设f（x）是定义在实数集R上的函数，满足条件y=f（x+1）是偶函数，且当x≥1时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，则f（$\frac{2}{3}$），f（$\frac{3}{2}$），f（$\frac{1}{3}$）的从大到小关系是f（$\frac{2}{3}$）＞f（$\frac{3}{2}$）＞f（$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 根据y=f（x+1）是偶函数得到函数f（x）关于x=1对称，利用函数单调性和对称性之间的关系，进行比较即可．

解答 解：∵y=f（x+1）是偶函数，
∴y=f（x+1）关于y轴，即x=0对称，
则y=f（x+1）向右平移1个单位，得到y=f（x），则f（x）关于x=1对称，
则f（x）=f（2-x）
∵当x≥1时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1为减函数，
∴当x≤1时，函数f（x）为增函数，
则f（$\frac{3}{2}$）=f（2-$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$），
∵$\frac{1}{3}$＜$\frac{1}{2}$＜$\frac{2}{3}$，
∴f（$\frac{1}{3}$）＜f（$\frac{1}{2}$）＜f（$\frac{2}{3}$），
即f（$\frac{1}{3}$）＜f（$\frac{3}{2}$）＜f（$\frac{2}{3}$），
即f（$\frac{2}{3}$）＞f（$\frac{3}{2}$）＞f（$\frac{1}{3}$），
故答案为：f（$\frac{2}{3}$）＞f（$\frac{3}{2}$）＞f（$\frac{1}{3}$）

点评 本题主要考查函数值的比较，根据函数奇偶性的性质以及函数对称性之间的关系，进行转化比较是解决本题的关键．