精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
16.已知函数y=loga(x+4)-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中m>0,n>0,则$\frac{1}{m}+\frac{3}{n}$的最小值为12.

分析 由已知求出A的坐标,代入mx+ny+1=0,得到3m+n=1.则$\frac{1}{m}+\frac{3}{n}$=($\frac{1}{m}+\frac{3}{n}$)(3m+n),展开后利用基本不等式求最值.

解答 解:由x+4=1,得x=-3,
∴函数y=loga(x+4)-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A(-3,-1),
则-3m-n+1=0,即3m+n=1.
∴$\frac{1}{m}+\frac{3}{n}$=($\frac{1}{m}+\frac{3}{n}$)(3m+n)=6+$\frac{n}{m}+\frac{9m}{n}$$≥6+2\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{9m}{n}}=12$.
当且仅当3m=n,即m=$\frac{1}{6},n=\frac{1}{2}$时等号成立.
故答案为:12.

点评 本题考查函数恒过定点问题,考查了利用基本不等式求最值,关键是对1的灵活运用,是基础题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

6.若对于任意的x∈[-1,0],关于x的不等式3x2+2ax+b≤0恒成立,则a2+b2-1的最小值为(  )
A.$\frac{4}{5}$B.$\frac{3}{5}$C.$\frac{5}{3}$D.$\frac{5}{4}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

7.若复数Z满足Z=i(1-i),求|Z|=(  )
A.$\sqrt{2}$B.$\sqrt{3}$C.$\sqrt{5}$D.$\sqrt{10}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

4.命题“?x0∈R,使得x02>4”的否定是(  )
A.?x0∉R,使得$x_0^2>4$B.?x0∉R,使得$x_0^2≤4$
C.?x∈R,x2>4D.?x∈R,x2≤4

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

11.函数$f(x)=\frac{1}{{\sqrt{1-{2^x}}}}$的定义域是(  )
A.{x|x≥0}B.{x|x≤0}C.{x|x>0}D.{x|x<0}

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

1.求y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$(-x2-2x+3)的定义域、值域及单调区间.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

8.函数$f(x)=lgx-\frac{9}{x}$的零点大致所在区间是(  )
A.(6,7)B.(7,8)C.(8,9)D.(9,10)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

5.下列说法中正确的是(  )
A.在正三棱锥中,斜高大于侧棱
B.有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱
C.底面是正方形的棱锥是正四棱锥
D.有一个面是多边形,其余各面均为三角形的几何体是棱锥

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

6.已知函数$f(x)={log_{\frac{1}{2}}}\frac{1+x}{x-1}$.
(I)若a>b>1,试比较f(a)与f(b)的大小;
(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)-($\frac{1}{2}$)x+m,且g(x)在区间[3,4]上没有零点,求实数m的取值范围.

查看答案和解析>>

同步练习册答案