Question

2．在平面直角坐标系xOy中，二次函数f（x）=x²+2x+b的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个点的圆记为C．
（1）求实数b的取值范围；
（2）当圆C的半径为$\sqrt{2}$时，求圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，过点（-1，1）的最长弦与最短弦分别为AB，CD，求四边形ACBD的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意知，由抛物线与坐标轴有三个交点可知抛物线不过原点即b不等于0，然后抛物线与x轴有两个交点即令f（x）=0的根的判别式大于0即可求出b的范围；
（2）设出圆的一般式方程，根据抛物线与坐标轴的交点坐标可知：令y=0得到与f（x）=0一样的方程；令x=0得到方程有一个根是b即可求出圆的方程；
（3）将方程化成标准方程（x+1）²+y²=2，过点（-1，1）的最长弦（直径）为AB=2$\sqrt{2}$，最短弦为CD=2，即可求出四边形ACBD的面积．

解答 解：（1）令x=0，得抛物线与y轴交点是（0，b）；
令f（x）=x²+2x+b=0，由题意b≠0且△＞0，解得b＜1且b≠0．
（2）设所求圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0
令y=0得x²+Dx+F=0这与x²+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b．
令x=0得y²+Ey+F=0，方程有一个根为b，代入得出E=-b-1．
所以圆C的方程为x²+y²+2x-（b+1）y+b=0．
因为圆C的半径为$\sqrt{2}$，所以$\frac{{b}^{2}-2b+5}{4}$=2，
所以b=-1或3（舍去），
所以圆C的方程是x²+y²+2x-1=0；
（3）将方程化成标准方程（x+1）²+y²=2，过点（-1，1）的最长弦（直径）为AB=2$\sqrt{2}$，最短弦为CD=2，
所以四边形ACBD的面积=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2$=2$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了圆的一般式方程，以及二次函数的性质，是一道综合性较强的试题．