Question

定义在R上的函数f（x）满足对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）判断f（x）的单调性，并求当x∈[-3，3]时，f（x）的最大值及最小值；
（3）在b＞

2

的条件下解关于x的不等式

1

2

f(bx2)-f(x)＞

1

2

f(b2x)-f(b)．

Answer 1

分析：（1）可在恒等式中令x=y=0，即可解出f（0）=0，由奇函数的定义知，需要证明出f（-x）=-f（x），观察恒等式发现若令y=-x，则问题迎刃而解；
（2）由题设条件对任意x₁、x₂在所给区间内比较f（x₂）-f（x₁）与0的大小即可得出f（x）在R上是减函数，再根据单调性得出函数的最值即可．
（3）不等式可化为：

f(bx2)-2f(x)＞f(b2x)-2f(b)．

再利用题中条件得到2f（x）=f（x）+f（x）=f（2x），结合函数的单调性，将前不等式化成二次不等式，再解之即得．

解答：解：（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0．…（1分）
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）=0．∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）为奇函数．…（3分）
（2）任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0．∴由已知得f（x₂-x₁）＜0．
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）=-f（x₂-x₁）＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在R上是减函数．…（6分）

∴当x∈[-3，3]时，f(3)≤f(x)≤f(-3)．

∵f（3）=f（2）+f（1）=3f（1）=-6，
∴f(-3)=-f(3)=6.
∴当x∈[-3，3]时，f（x）_max=6，f（x）_min=-6．…（8分）
（3）不等式可化为：

f(bx2)-2f(x)＞f(b2x)-2f(b)．

而2f（x）=f（x）+f（x）=f（2x），
得

f(bx2)-f(2x)＞f(b2x)-f(2b)．

即

f(bx2-2x)＞f(b2x-2b)．

∵y=f（x）在R上是减函数，
∴bx2-2x＜b2x-2b，即bx²-（2+b²）x+2b＜0…①…（10分）
当b＞

2

＞0时，①得(x-b)(x-

2

b

)＜0；
当b＞

2

时，

2

b

＜b，此时解集为{x|

2

b

＜x＜b}．…（12分）

点评：本题考点是抽象函数及其应用，考查用赋值法求函数值证明函数的奇偶性，以及灵活利用所给的恒等式证明函数的单调性，此类题要求答题者有较高的数学思辨能力，能从所给的条件中组织出证明问题的组合来．