Question

14．双曲线C的左，右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），抛物线y²=4x与双曲线C的一个交点为P，若（$\overrightarrow{{F}_{2}P}$+$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$）•（$\overrightarrow{{F}_{2}P}$-$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$）=0，则C的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 1+$\sqrt{2}$
• C． 1+$\sqrt{3}$
• D． 2+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点和准线，运用向量的平方即为模的平方，可得|PF₂|=2，由抛物线的定义，可得P的横坐标，可得P的坐标，运用双曲线的定义和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：抛物线y²=4x的焦点为（1，0），准线为x=-1，
设P（m，n），
若（$\overrightarrow{{F}_{2}P}$+$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$）•（$\overrightarrow{{F}_{2}P}$-$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$）=0，
则$\overrightarrow{{F}_{2}P}$²-$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$²=0，
由F₁（-1，0），F₂（1，0），可得|F₁F₂|=2，
即有|PF₂|=2，
由抛物线的定义可得x_P+1=2，即有x_P=1，
可得P（1，±2），
由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=$\sqrt{（1+1）^{2}+{2}^{2}}$-$\sqrt{{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$-2，
可得双曲线的a=$\sqrt{2}$-1，c=1，
可得e=$\frac{c}{a}$=1+$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，考查抛物线的定义、方程和性质，以及向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．