Question

已知函数f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若对于任意的m、n∈[-1，1]有

f(m)+f(n)

m+n

＞0．
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）解不等式f(x+

1

2

)＜f(1-x)；
（3）若f（x）≤-2at+2对于任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设x₁=m，x₂=-n，由已知可得

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，分x₁＞x₂，及x₁＜x₂两种情况可知f（x₁）与f（x₂）的大小，借助单调性的定义可得结论；
（2）利用函数单调性可得去掉不等式中的符号“f”，转化为具体不等式，再考虑到函数定义域可得不等式组，解出即可；
（3）要使得对于任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]都有f（x）≤-2at+2恒成立，只需对任意的a∈[-1，1]时-2at+2≥f（x）_max，整理后化为关于a的一次函数可得不等式组；

解答：（1）函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数：
证明：由题意可知，对于任意的m、n∈[-1，1]有

f(m)+f(n)

m+n

＞0，
可设x₁=m，x₂=-n，则

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

＞0，即

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
当x₁＞x₂时，f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数；
当x₁＜x₂时，f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数；
综上：函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数．
（2）由（1）知函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数，
又由f(x+

1

2

)＜f(1-x)，
得

-1≤x+ 1 2 ≤1 -1≤1-x≤1 x+ 1 2 ＜1-x

，解得0≤x＜

1

4

，
∴不等式f(x+

1

2

)＜f(1-x)的解集为{x|0≤x＜

1

4

}；
（3）∵函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数，且f（1）=1，
要使得对于任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]都有f（x）≤-2at+2恒成立，
只需对任意的a∈[-1，1]时-2at+2≥1，即-2at+1≥0恒成立，
令y=-2at+1，此时y可以看做a的一次函数，且在a∈[-1，1]时y≥0恒成立，
因此只需要

-2t+1≥0 2t+1≥0

，解得-

1

2

≤t≤

1

2

，
∴实数t的取值范围为：-

1

2

≤t≤

1

2

．

点评：本题考查函数的单调性、奇偶性及其综合应用，考查抽象不等式的求解及恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力，利用函数性质去掉符号“f”是解决抽象不等式的关键．