Question

5．若F₁，F₂是双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$的两个焦点，P是双曲线上的一点，且|PF₁|•|PF₂|=64，则∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由双曲线方程求出焦距，利用双曲线的定义和余弦定理能求出∠F₁PF₂．

解答 解：由$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$，得a²=9，b²=16，∴c=5，
∴|F₁F₂|=2c=10，
设|PF₁|＞|PF₂|，
则|PF₁|-|PF₂|=6，
∴$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|=36$，
∵|PF₁||PF₂|=64，
∴$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}=164$，
∴cos∠F₁PF₂=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$=$\frac{164-100}{2×64}=\frac{1}{2}$，
∴∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查双曲线是几何性质，考查双曲线的定义，注意余弦定理的合理运用，是中档题．