Question

已知△ABC的面积S满足

3

2

≤S≤

3

2

，且

AB

•

BC

=3，

AB

与

BC

的夹角为θ．
（1）求θ的取值范围；
（2）求函数f(θ)=3sin2θ+2

3

sinθ•cosθ+cos2θ的最大值及最小值．

Answer 1

分析：（1）由条件求得

3

3

≤tanθ≤1，再根据0≤θ≤π，从而求出θ的取值范围．
（2）利用两角和差的正弦公式、二倍角公式花简函数f（θ）的解析式为2sin（2θ-

π

6

）+2，根据

π

6

≤θ≤

π

4

，求得2θ-

π

6

 的范围，从而求得sin（2θ-

π

6

）的范围，从而求出f（θ）的最大值和最小值．

解答：解：（1）因为

AB

•

BC

=3，

AB

与

BC

的夹角为θ，所以，|

AB

|•|

BC

|•cosθ=3．
S=|

AB

|•|

BC

|•sin(π-θ)=

1

2

|

AB

|•|

BC

|•sinθ．   （3分）
又

3

2

≤S ≤

3

2

，所以，

3

2

≤

3

2

•tanθ≤

3

2

，即

3

3

≤tanθ≤1，
又0≤θ≤π，所以，

π

6

≤θ≤

π

4

．                                             （6分）
（2）函数f(θ)=3sin2θ+2

3

sinθ•cosθ+cos2θ=2sin²θ+

3

sin2θ+1
=

3

sin2θ-cos2θ+2=2sin（2θ-

π

6

）+2，----（9分）
因为

π

6

≤θ≤

π

4

，所以

π

6

≤2θ-

π

6

≤

π

3

，（10分）
从而当 θ=

π

6

 时，f（θ）取得最小值为3，
当 θ=

π

4

时，f（θ）取得最大值为

3

+2．---------（12分）

点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，正弦函数的定义域和值域，两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题．