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【题目】已知点及圆

1)若直线过点且与圆心的距离为1,求直线的方程;

2)若过点的直线与圆交于两点,且,求以为直径的圆的方程;

3)若直线与圆交于两点,是否存在实数,使得过点的直线垂直平分弦?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.

【答案】1;(2;(3)不存在,理由详见解析.

【解析】

1)设出直线方程,结合点到直线的距离公式,计算参数,即可得出所求直线方程,注意分斜率存在与否两种情况讨论;

2)求出点P与圆心C之间的距离,再根据逆用弦长公式求出弦心距d,发现,则点PMN的中点,故以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标,半径为|MN|的一半,写出圆的方程即可;

3)把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程,因为直线与圆有两个交点,所以得到0,列出关于a的不等式,求出a的范围,再计算的斜率,求出a的值,即可.

1)圆的圆心为,半径

的斜率存在时,设直线的斜率为 则方程为

依题意得 解得.

所以直线的方程为,即

的斜率不存在时,的方程为,经验证也满足条件.

2)由于 而弦心距 所以

所以的中点.故以为直径的圆的方程为

3)直线,即

代入圆的方程,消去,整理得

由于直线交圆两点,

解得

则实数的取值范围是

若存在实数,使得过点的直线垂直平分弦,则圆心必在上.

所以的斜率,而,所以

由于,故不存在实数,使得过点的直线垂直平分弦

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5860 6520 7326 6798 7325 8430 8215 7453 7446 6754

7638 6834 6460 6830 9860 8753 9450 9860 7290 7850

对这20个数据按组距1000进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统计图表:

步数分组统计表(设步数为

组别

步数分组

频数

2

10

2

(Ⅰ)写出的值,并回答这20名“微信运动”团队成员一天行走步数的中位数落在哪个组别;

(Ⅱ)记组步数数据的平均数与方差分别为,,组步数数据的平均数与方差分别为,试分别比较与以的大小;(只需写出结论)

(Ⅲ)从上述两个组别的数据中任取2个数据,记这2个数据步数差的绝对值为,求的分布列和数学期望.

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