【题目】已知点及圆.
(1)若直线过点且与圆心的距离为1,求直线的方程;
(2)若过点的直线与圆交于、两点,且,求以为直径的圆的方程;
(3)若直线与圆交于,两点,是否存在实数,使得过点的直线垂直平分弦?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1),;(2);(3)不存在,理由详见解析.
【解析】
(1)设出直线方程,结合点到直线的距离公式,计算参数,即可得出所求直线方程,注意分斜率存在与否两种情况讨论;
(2)求出点P与圆心C之间的距离,再根据逆用弦长公式求出弦心距d,发现,则点P为MN的中点,故以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标,半径为|MN|的一半,写出圆的方程即可;
(3)把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程,因为直线与圆有两个交点,所以得到△>0,列出关于a的不等式,求出a的范围,再计算的斜率,求出a的值,即可.
(1)圆的圆心为,半径,
当的斜率存在时,设直线的斜率为, 则方程为.
依题意得, 解得.
所以直线的方程为,即.
当的斜率不存在时,的方程为,经验证也满足条件.
(2)由于, 而弦心距, 所以.
所以为的中点.故以为直径的圆的方程为.
(3)直线,即,
代入圆的方程,消去,整理得.
由于直线交圆于,两点,
故, 解得.
则实数的取值范围是.
若存在实数,使得过点的直线垂直平分弦,则圆心必在上.
所以的斜率,而,所以.
由于,故不存在实数,使得过点的直线垂直平分弦.
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【题目】由于研究性学习的需要,中学生李华持续收集了手机“微信运动”团队中特定20名成员每天行走的步数,其中某一天的数据记录如下:
5860 6520 7326 6798 7325 8430 8215 7453 7446 6754
7638 6834 6460 6830 9860 8753 9450 9860 7290 7850
对这20个数据按组距1000进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统计图表:
步数分组统计表(设步数为)
组别 | 步数分组 | 频数 |
2 | ||
10 | ||
2 | ||
(Ⅰ)写出的值,并回答这20名“微信运动”团队成员一天行走步数的中位数落在哪个组别;
(Ⅱ)记组步数数据的平均数与方差分别为,,组步数数据的平均数与方差分别为,,试分别比较与以,与的大小;(只需写出结论)
(Ⅲ)从上述两个组别的数据中任取2个数据,记这2个数据步数差的绝对值为,求的分布列和数学期望.
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【题目】如图,四边形ABCD是矩形,平面ABCD⊥平面BCE,BE⊥EC.
(1)求证:平面AEC⊥平面ABE;
(2)点F在BE上.若DE∥平面ACF,求的值.
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【题目】若无穷数列满足:,且对任意,(s,k,l,)都有,则称数列为“T”数列.
(1)证明:正项无穷等差数列是“T”数列;
(2)记正项等比数列的前n项之和为,若数列是“T”数列,求数列公比的取值范围;
(3)若数列是“T”数列,且数列的前n项之和满足,求证:数列是等差数列.
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【题目】(本小题满分12分)已知点为抛物线的焦点,点在抛物线上,且.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)已知点,延长交抛物线于点,证明:以点为圆心且与直线相切的圆,必与直线相切.
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【题目】已知椭圆,、分别是椭圆长轴的左、右端点,为椭圆上的动点.
(1)求的最大值,并证明你的结论;
(2)设直线的斜率为,且,求直线的斜率的取值范围.
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