Question

（2012•天津）已知函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．
（1）求a的值；
（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx²成立，求实数k的最小值；
（3）证明：

n

i=1

2

2i-1

-ln(2n+1)＜2（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，求得函数的最小值，利用函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，即可求得a的值；
（2）当k≤0时，取x=1，有f（1）=1-ln2＞0，故k≤0不合题意；当k＞0时，令g（x）=f（x）-kx²，即g（x）=x-ln（x+1）-kx²，求导函数，令g′（x）=0，可得x₁=0，x2=

1-2k

2k

＞-1，分类讨论：①当k≥

1

2

时，

1-2k

2k

≤0，g（x）在（0，+∞）上单调递减，g（x）≤g（0）=0；②当0＜k＜

1

2

时，

1-2k

2k

＞0，对于x∈(0，

1-2k

2k

)，g′（x）＞0，因此g（x）在(0，

1-2k

2k

)上单调递增，，由此可确定k的最小值；
（3）当n=1时，不等式左边=2-ln3＜2=右边，不等式成立；当n≥2时，

n

i=1

f(

2

2i-1

)=

n

i=1

2

2i-1

-ln(2n+1)，在（2）中，取k=

1

2

，得f（x）≤

1

2

x²，从而可得f(

2

2i-1

)=

2

(2i-1)2

＜ 

2

(2i-3)(2i-1)

，由此可证结论．

解答：（1）解：函数的定义域为（-a，+∞），求导函数可得f′(x)=

x+a-1

x+a

令f′（x）=0，可得x=1-a＞-a
令f′（x）＞0，x＞-a可得x＞1-a；令f′（x）＜0，x＞-a可得-a＜x＜1-a
∴x=1-a时，函数取得极小值且为最小值
∵函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，
∴f（1-a）=1-a-0，解得a=1
（2）解：当k≤0时，取x=1，有f（1）=1-ln2＞0，故k≤0不合题意
当k＞0时，令g（x）=f（x）-kx²，即g（x）=x-ln（x+1）-kx²，
求导函数可得g′（x）=

-x[2kx-(1-2k)]

x+1

g′（x）=0，可得x₁=0，x2=

1-2k

2k

＞-1
①当k≥

1

2

时，

1-2k

2k

≤0，g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此g（x）在（0，+∞）上单调递减，从而对任意的x∈[0，+∞），总有g（x）≤g（0）=0，即对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx²成立；
②当0＜k＜

1

2

时，

1-2k

2k

＞0，对于x∈(0，

1-2k

2k

)，g′（x）＞0，因此g（x）在(0，

1-2k

2k

)上单调递增，
因此取x 0∈(0，

1-2k

2k

)时，g（x₀）≥g（0）=0，即有f（x₀）≤kx₀²不成立；
综上知，k≥

1

2

时对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx²成立，k的最小值为

1

2

（3）证明：当n=1时，不等式左边=2-ln3＜2=右边，所以不等式成立
当n≥2时，

n

i=1

f(

2

2i-1

)=

n

i=1

2

2i-1

-ln(2n+1)
在（2）中，取k=

1

2

，得f（x）≤

1

2

x²，∴f(

2

2i-1

)=

2

(2i-1)2

＜ 

2

(2i-3)(2i-1)

（i≥2，i∈N^*）．
∴

n

i=1

2

2i-1

-ln(2n+1)=

n

i=1

f(

2

2i-1

)=f（2）+

n

i=2

f(

2

2i-1

)＜2-ln3+

n

i=2

2

(2i-3)(2i-1)

=2-ln3+1-

1

2n-1

＜2
综上，

n

i=1

2

2i-1

-ln(2n+1)＜2（n∈N^*）．

点评：试题分为三问，题面比较简单，给出的函数比较常规，因此入手对于同学们来说没有难度，第二问中，解含参数的不等式时，要注意题中参数的讨论所有的限制条件，从而做到不重不漏；第三问中，证明不等式，应借助于导数证不等式的方法进行．