Question

（本小题满分13分）
已知点，，△的周长为6．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与曲线相交于不同的两点，．若点在轴上，且，求点的纵坐标的取值范围．

Answer 1

(1)     (2)

试题分析：解：（Ⅰ）由题意可知，，
故动点的轨迹是以，为焦点的椭圆.                   ………………………1分
设其方程为，则，，，.       ………………………3分
所以椭圆的方程为                          ………………………4分
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，满足条件的点的纵坐标为.    ………………………5分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为.
联立得，
. .          ………………………6分
设，，则.
设的中点为，则，，
所以.                                  ………………………9分
由题意可知，
又直线的垂直平分线的方程为.
令解得.                           ………………………10分
当时，因为，所以；
当时，因为，所以.           ………………………12分
综上所述，点纵坐标的取值范围是.               ………………………13分
点评：解决这类问题的关键是能利用已知中的条件，结合圆锥曲线的定义，来求解轨迹方程，同时能结合直线与椭圆的方程，联立方程组，对于线段相等，运用等腰三角形中线是高线来得到垂直关系进而得到分析，属于中档题。