Question

设f（x）=x³-ax²-bx-c，x∈[-1，1]，记y=|f（x）|的最大值为M．
（Ⅰ）当a=c=0，b=

3

4

时，求M的值；
（Ⅱ）当a，b，c取遍所有实数时，求M的最小值．
（以下结论可供参考：对于a，b，c，d∈R，有|a+b+c+d|≤|a|+|b|+|c|+|d|，当且仅当a，b，c，d同号时取等号）

Answer 1

分析：（I）先求导，得f′(x)=3x2-

3

4

=3(x-

1

2

)(x+

1

2

)，从而得出y=|f（x）|的最大值为：M=max{|f(-1)|，|f(-

1

2

)|，|f(

1

2

)|，|f(1)|}=

1

4

．
（II）由于4f(1)-4f(-1)=8-8b，8f(

1

2

)-8f(-

1

2

)=2-8b，且M≥|f(1)|；M≥|f(-1)|；M≥|f(

1

8

)|；M≥|f(-

1

8

)|利用绝对值不等式建立不等关系式，得出M≥

1

4

（-1≤x′≤1）．最后结合（1）可知M的最小值．

解答：解：（I）求导可得f′(x)=3x2-

3

4

=3(x-

1

2

)(x+

1

2

)，
M=max{|f(-1)|，|f(-

1

2

)|，|f(

1

2

)|，|f(1)|}=

1

4

，当x=±1，±

1

2

时取等号．
（II）∵4f(1)-4f(-1)=8-8b，8f(

1

2

)-8f(-

1

2

)=2-8b，
∵M≥|f(1)|；M≥|f(-1)|；M≥|f(

1

8

)|；M≥|f(-

1

8

)|
∴24M≥4|f(1)|+4|f(-1)|+8|f(

1

2

)|+8|f(-

1

2

)|≥|4f(1)-4f(-1)-8f(

1

2

)+8f(-

1

2

)|=6
因此，M≥

1

4

（-1≤x′≤1）．
由（1）可知，当a=0，b=

3

4

，c=0时，M=

1

4

．∴f(x)min=

1

4

．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数求闭区间上函数的最值、绝对值不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于基础题．