Question

已知函数f(x)=x+

4

x

．
（1）求函数f（x）的定义域；（2）用函数单调性定义证明f（x）在（2，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析：（1）要使函数有意义，只需函数的分母不为零，列不等式即可解得函数的定义域；（2）利用定义证明函数的单调性，先设在所给区间上有任意两个自变量x₁，x₂，且x₁＜x₂，再用作差法比较f（x₁）与f（x₂）的大小，最后由定义得出证明结论

解答：解：（1）要使函数有意义，需x≠0，
∴函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）；
（2）证明：设?x₁、x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=x1+

4

x1

-x2-

4

x2

=(x1-x2)+

4(x2-x1)

x1x2

=(x1-x2)(1-

4

x1x2

)
∵2＜x₁＜x₂
∴x1-x2＜0，x1x2＞4，1-

4

x1x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f(x)=x+

4

x

在（2，+∞）上是增函数

点评：本题考查了函数定义域的求法，利用函数单调性的定义证明函数单调性的方法，正确的作差、变形、判断符号是解决本题的关键