已知椭圆
的长轴长为
，离心率为
，
分别为其左右焦点．一动圆过点
，且与直线
相切．
（1）求椭圆
及动圆圆心轨迹
的方程；
（2） 在曲线上有两点
、
，椭圆上有两点
、
，满足
与
共线，
与
共线，且
，求四边形
面积的最小值．
（1）
，
（2）四边形PMQN面积的最小值为8
解析试题分析：解：（1）（ⅰ）由已知可得
，
则所求椭圆方程. 3分
（ⅱ）由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线的焦点为
，准线方程为，则动圆圆心轨迹方程为. 5分
（2）当直线MN的斜率不存在时，
，此时PQ的长即为椭圆长轴长，
从而
6分
设直线MN的斜率为k，则k≠0，直线MN的方程为：
，
直线PQ的方程为
设
由
，消去
可得
---8分
由抛物线定义可知：
9分
由
消去得
，
从而
10分
∴
令
，∵
则
则
=
，所以
=
＞8 11分
所以四边形PMQN面积的最小值为8 12分
考点：椭圆方程，轨迹方程
点评：主要是考查了轨迹方程的求解，以及联立方程组结合韦达定理来求解面积，属于基础题。
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
在极坐标系内，已知曲线
的方程为
，以极点为原点，极轴方向为
正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线
的参数方程为
（
为参数）.
(1)求曲线的直角坐标方程以及曲线
的普通方程；
(2)设点
为曲线上的动点，过点作曲线
的两条切线，求这两条切线所成角余弦值的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为 
．
（Ⅰ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为
，判断点P与直线l的位置关系；
（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最值；
（Ⅲ）请问是否存在直线
，∥l且与曲线C的交点A、B满足
；
若存在请求出满足题意的所有直线方程，若不存在请说明理由。
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
平面内与两定点
连线的斜率之积等于非零常数
的点的轨迹，加上
两点，所成的曲线
可以是圆，椭圆或双曲线．
（Ⅰ）求曲线的方程，并讨论的形状与值的关系;
（Ⅱ）当
时，对应的曲线为
；对给定的
，对应的曲线为
，若曲线的斜率为
的切线与曲线相交于
两点，且
（
为坐标原点），求曲线的方程．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，已知椭圆
的中心在原点，其上、下顶点分别为
，点
在直线
上，点
到椭圆的左焦点的距离为
.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设
是椭圆上异于的任意一点，点在
轴上的射影为
，
为
的中点，直线
交直线
于点
，
为
的中点，试探究：在椭圆上运动时，直线
与圆:
的位置关系，并证明你的结论.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知双曲线
的渐近线方程为
，左焦点为F，过
的直线为
，原点到直线的距离是
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线
交双曲线于不同的两点C，D，问是否存在实数
，使得以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F。若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
：
的右焦点
，过原点和
轴不重合的直线与椭圆 相交于
，
两点，且
，
最小值为
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若圆:
的切线
与椭圆相交于
，
两点，当，两点横坐标不相等时，问：
与
是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．
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,动点
满足
.
交于点
、
两点 ，求证
(
为原点)。
的上顶点为
,左焦点为
,直线
与圆
相切.过点
的直线与椭圆
交于
两点.
的面积达到最大时,求直线的方程.