Question

已知函数的图像在点处的切线斜率为10.
(1)求实数的值;
(2)判断方程根的个数,并证明你的结论;
(21)探究: 是否存在这样的点,使得曲线在该点附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧? 若存在,求出点A的坐标;若不存在,说明理由.

Answer 1

（1）8；（2）一个，证明参考解析；(21)

试题分析：（1）曲线上切线的斜率是通过导数的几何意义，求曲线的导数再将该点的横坐标代入即可求得该点的斜率，从而可解得的值.
（2）判断方程的根的情况，一般是通过构造新的函数从而证明函数的与x轴的交点的个数得到对应方程的根的个数.
(21)因为是否存在这样的点,使得曲线在该点附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧.是通过说明过该点的切线方程与曲线方程联立后，构建一个新的函数，要说明该点不是新函数的极值点即可.
试题解析：（1）因为.图像在点处的切线斜率为10，.解得.
（2）方程 只有一个实根.证明如下：由（1）可知 ，令，因为，，所以在内至少有一个实根.又因为.所以在递增，所以函数在上有且只有一个零点，及方程有且只有一个实根.
(21)由，，可求得曲线在点处的切线方程为.即.记，.若存在这样的点，使得曲线在该点附近的左右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧，则问题等价于不是极值点，由二次函数的性质可知，当且仅当时，不是极值点，即.所以在上递增.又，所以当时，，当时，，即存在唯一点.使得曲线在点A附近的左右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧.