Question

己知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（-5）=-1，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．若正数a满足f（2a+1）＜1，则-

1

a

的取值范围是（　　）

• A．（-2，0）
• B．（-∞，-

  1

  2

  ）
• C．（-

  1

  2

  ，+∞）
• D．（-

  1

  2

  ，0）

Answer 1

分析：由函数的导函数的图象判断出导函数的符号，从而得到原函数的单调性，再由f（-5）=-1，得f（5）=1，
代入f（2a+1）＜1后由单调性得到不等式2a+1＜5，求出a的范围后可求答案．

解答：解：由f（x）的导函数y=f′（x）的图象可知，
当x∈（-∞，+∞）时，f′（x）≥0恒成立，
所以函数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，
因为函数f（x）是定义域为R的奇函数，
由f（-5）=-1，得f（5）=1．
则由f（2a+1）＜1，得f（2a+1）＜f（5），
所以2a+1＜5，解得a＜2．
又a＞0，所以

1

a

＞

1

2

．
则-

1

a

＜-

1

2

．
故选B．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，考查了函数的奇偶性，练习了不等式的解法，是中档题．