Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

2

=1(a＞0)的左、右顶点分别为A、B，点P在椭圆上且异于A、B两点，O为坐标原点．
（1）若直线AP与BP的斜率之积为-

1

2

，求椭圆的离心率；
（2）对于由（1）得到的椭圆C，过点P的直线l交x轴于点Q（-1，0），交y轴于点M，若|

MP

|=2|

PQ

|，求直线l的斜率．

Answer 1

分析：（1）确定直线AP与BP的斜率，利用直线AP与BP的斜率之积为-

1

2

，点P在椭圆上，即可求椭圆的离心率；
（2）设出直线l的方程，利用|

MP

|=2|

PQ

|，求得P的坐标，利用点P在椭圆上，即可求得结论．

解答：解：（1）由已知A（-a，0），B（a，0），设P（x₀，y₀）（x₀≠±a）．…（1分）
则直线AP的斜率kAP=

y0

x0+a

，直线BP的斜率kBP=

y0

x0-a

．
由

x02

a2

+

y02

2

=1，得y02=

2(a2-x02)

a2

．…（2分）
∴k_AP×k_AP=

y0

x0+a

×

y0

x0-a

=

y02

x02-a2

=

2(a2-x02) a2

-(a2-x02)

=-

2

a2

…（3分）
∴-

2

a2

=-

1

2

，得a²=4，…（4分）
∴e2=

4-2

4

=

1

2

．…（5分）
∴椭圆的离心率e=

2

2

．…（6分）
（2）由题意知直线l的斜率存在．…（7分）
设直线l的斜率为k，直线l的方程为y=k（x+1）…（8分）
则有M（0，k），设P（x₀，y₀）（x₀≠±a），由于P，M，Q三点共线，且|

MP

|=2|

PQ

|
根据题意，得（x₀，y₀-k）=±2（x₀+1，y₀）…（9分）
解得

x0=-2 y0=-k

或

x0=- 2 3 y0= k 3

…（11分）
又点P在椭圆上，又由（1）知椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1
所以

(-2)2

4

+

(-k)2

2

=1…①或

(- 2 3 )2

4

+

( k 3 )2

2

=1…②
由①解得k²=0，即k=0，∵此时点P与椭圆左端点A重合，∴k=0舍去；            …（12分）
由②解得k²=16，即k=±4，∴直线直线l的斜率k=±4．…（14分）

点评：本小题主要考查直线斜率、椭圆的方程、离心率、向量的运算等知识，考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法，考查综合运用能力以及运算求解能力．