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    如图，矩形ABCD内接于半径为r的圆O，点P是圆周上任意一点，求证：PA2+PB2+PC2+PD2=8r2．
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    分析：把矩形的2条对角线对应的向量分别用向量
    PA
    ，
    PB
    ，
    PC
    ，
    PD
    来表示，直角三角形中利用向量法求出2条对角线长度的
    平方和，即可证得结论成立．
    解答：证明：∵
    BD
    =
    PD
    -
    PB
    ，
    AC
    =
    PC
    -
    PA
    ，
    ∴|
    BD
    |2=(
    PD
    -
    PB
    )2=|
    PD
    |2-2
    PB
    PD
    +|
    PB
    |2    ，
     |
    AC
    |2=(
    PC
    -
    PA
    )2=|
    PC
    |2-2
    PC
    PA
    +|
    PA
    |2    ，
    BD，AC为直径，故
    PD
    ⊥
    PB
    ，
    PA
    ⊥
    PC
    ?
    PD
    •
    PB
    =
    PA
    •
    PC
    =0    ，
    ∴|
    BD
    |2+|
    AC
    |2=|
    PA
    |2+|
    PB
    |2+|
    PC
    |2+|
    PD
    |2    ，
    即 4r2+4r2 =PA2+PB2+PC2+PD 2=8r2，故命题成立．
    点评：本题考查向量在几何中的应用，利用线段长度的平方等于对应向量的平方．
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