Question

12．已知函数f（x）=x³-2tx²-x+1（t∈R）且f′（1）=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）先求导，根据f′（1）=0，求出t的值，继而求出f（x）的解析式；
（2）根据导数和函数的极值的关系即可求出．

解答 解：（Ⅰ） y=f'（x）=3x²-4tx-1，
∵f′（1）=3-4t-1=0，
∴$t=\frac{1}{2}$
即f（x）=x³-x²-x+1；
（Ⅱ）令f'（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1）=0，
解得${x_1}=-\frac{1}{3}$，x₂=1，
∴

x	（-∞，-$\frac{1}{3}$）	$-\frac{1}{3}$	（-$\frac{1}{3}$，0）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）		极大值$\frac{32}{27}$		极小值0

∴当$x=-\frac{1}{3}$时有极大值$f（-\frac{1}{3}）=\frac{32}{27}$，
当x=1时有极小值f（1）=0．

点评 本题主要考查函数、导数等基本知识．考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、数形结合思想，属于基础题．