Question

【题目】定义在区间D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，都存在常数M≥0，有|f（x）|≤M，则称f（x）是区间D上有界函数，其中M称为f（x）上的一个上界，已知函数g（x）=log 为奇函数．
（1）求函数g（x）在区间[ ， ]上的所有上界构成的集合；
（2）若g（1﹣m）+g（1﹣m2）＜0，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数g（x）=log 为奇函数．

∴g（﹣x）=﹣g（x），

即log =﹣log

∴ = ，1﹣x2=1﹣a2x2

得出；a=±1，而a=1时不符合题意，

故a=﹣1，

函数g（x）=log （ ﹣1）是减函数，在区间[ ， ]上是单调递减，

g（ ）=﹣1，g（ ）=﹣2，|g（x）|≤2

所以g（x）在区间[ ， ]上的所有上界构成的集合[2，+∞）

（2）解：g（1﹣m）+g（1﹣m2）＜0，g（1﹣m）＜g（m2﹣1），

g（x）为减函数，

所以有﹣1＜m2﹣1＜1﹣m＜1，

解得0＜m＜1，

故不等式的解集{m|0＜m＜1}．

【解析】（1）利用奇函数的性质，求出函数的解析式，利用单调性求函数g（x）在区间[ ， ]上的所有上界构成的集合；（2）若g（1﹣m）+g（1﹣m2）＜0，有﹣1＜m2﹣1＜1﹣m＜1，即可求m的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数奇偶性的性质的相关知识，掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．