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如图,已知四棱锥S-A BCD是由直角梯形沿着CD折叠而成,其中SD=DA=AB=BC=l,AS∥BC,AB⊥AD,且二面角S-CD-A的大小为120°.
(Ⅰ)求证:平面ASD⊥平面ABCD;
(Ⅱ)设侧棱SC和底面ABCD所成角为θ,求θ的正弦值.

【答案】分析:(1)根据题意,得到CD⊥SD,CD⊥AD.结合线面垂直的判定定理,得到CD⊥平面ADS,再由CD?平面ABCD,即可证出平面ASD⊥平面ABCD.
(2)由(1)得二面角S-CD-A的平面角为∠ADS,即∠ADS=120°.过点S作SH⊥AD,交AD的延长线于H点.可得SH⊥平面ABC.可得CH为侧棱SC在底面ABCD内的射影,因此∠SCH为侧棱SC和底面ABC所成的角θ.然后分别在在Rt△SHD、Rt△SDC和Rt△SHC中利用三角函数知识,结合题中数据算出sinθ=,即得侧棱SC和底面ABCD所成角θ的正弦值.
解答:解:(Ⅰ)∵SD=DA=AB=BC=l,AS∥BC,AB⊥AD,
∴CD⊥SD,CD⊥AD.
可得二面角S-CD-A的平面角为∠ADS,∠ADS=120°.
又∵AD∩SD,
∴CD⊥平面ADS.
又∵CD?平面ABCD,
∴平面ASD⊥平面ABCD.…(6分)
(Ⅱ)过点S作SH⊥AD,交AD的延长线于H点.
∵平面ASD⊥平面ABCD,平面ASD∩平面ABCD=AD,
∴SH⊥平面ABC.可得CH为侧棱SC在底面ABCD内的射影.
因此,∠SCH为侧棱SC和底面ABC所成的角θ.…(10分)
在Rt△SHD中,∠SDH=180°-∠ADS=60°,SD=1,可得SH=SDsin60°=
在Rt△SDC中,∠SDC=90°,SD=AB=DC=1,可得SC=
在Rt△SHC中,sinθ===
∴侧棱SC和底面ABCD所成角θ的正弦值的.…(13分)
点评:本题给出平面翻折问题,求证面面垂直并求直线与平面所成角的正弦值,着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义及求法等知识,属于中档题.
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AQ
=
3
4
AS
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