已知分别是椭圆
的左,右顶点,点
在椭圆
上,且直线
与直线
的斜率之积为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)点为椭圆
上除长轴端点外的任一点,直线
,
与椭圆的右准线分别交于点
,
.
①在轴上是否存在一个定点
,使得
?若存在,求点
的坐标;若不存在,说明理由;
②已知常数,求
的取值范围.
(1);(2)①存在点
的坐标为
,②
.
解析试题分析:(1)利用题目条件建立关于a,b,c的方程组,解方程组即可;
(2)①对于存在性问题,可以先假设点存在,然后根据
以及点P在椭圆上直线
,
与椭圆的右准线分别交于点
,
等相关条件建立方程,看看点E的横坐标是不是定值,如果是即为所求,如果不是也就说明了不存在;②利用向量的坐标运算,计算
,
,进而求出
的表达式,在利用函数知识求取值范围.
试题解析:(1)由题意得,,
, ∴
,
由点在椭圆C上,则有:
, 2分
由以上两式可解得.
∴椭圆方程为. 4分
(2)①椭圆右准线的方程为. 5分
假设存在一个定点,使得
.设点
(
).
直线的方程为
,令
,
,∴点
坐标为
.
直线的方程为
,令
,
,
∴点坐标为
. 7分
若,则
,∵
,
,
∴. 9分
∵点在椭圆
上,∴
,∴
,代入上式,得
,
∴,∴点
的坐标为
. 11分
②∵,
,
∴.
∵,
,∴
.
∴ . 13分
设函数,定义域为
,
当时,即
时,
在
上单调递减,
的取值范围为
,
当
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知双曲线的焦点与椭圆
的焦点重合,且该椭圆的长轴长为
,
是椭圆上的的动点.
(1)求椭圆标准方程;
(2)设动点满足:
,直线
与
的斜率之积为
,求证:存在定点
,
使得为定值,并求出
的坐标;
(3)若在第一象限,且点
关于原点对称,点
在
轴的射影为
,连接
并延长交椭圆于
点,求证:以
为直径的圆经过点
.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C:=1(a>b>0)上任一点P到两个焦点的距离的和为2
,P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为-
.设直线l过椭圆C的右焦点F,交椭圆C于两点A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)若=
(O为坐标原点),求|y1-y2|的值;
(2)当直线l与两坐标轴都不垂直时,在x轴上是否总存在点Q,使得直线QA,QB的倾斜角互为补角?若存在,求出点Q坐标;若不存在,请说明理由.
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设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为
,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若+
=8,求k的值.
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如图,焦距为的椭圆
的两个顶点分别为
和
,且
与n
,
共线.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与椭圆
有两个不同的交
点和
,且原点
总在以
为直径的圆的内部,求实数
的取值范围.
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已知点、
为双曲线
:
的左、右焦点,过
作垂直于
轴的直线,在
轴上方交双曲线
于点
,且
.圆
的方程是
.
(1)求双曲线的方程;
(2)过双曲线上任意一点
作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为
、
,求
的值;
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已知椭圆:
的左焦点为
,且过点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点P(-2,0)的直线与椭圆E交于A、B两点,且满足.
①若,求
的值;
②若M、N分别为椭圆E的左、右顶点,证明:
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已知定点,曲线C是使
为定值的点
的轨迹,曲线
过点
.
(1)求曲线的方程;
(2)直线过点
,且与曲线
交于
,当
的面积取得最大值时,求直线
的方程;
(3)设点是曲线
上除长轴端点外的任一点,连接
、
,设
的角平分线
交曲线
的长轴于点
,求
的取值范围.
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(1)已知点和
,过点
的直线
与过点
的直线
相交于点
,设直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,如果
,求点
的轨迹;
(2)用正弦定理证明三角形外角平分线定理:如果在中,
的外角平分线
与边
的延长线相交于点
,则
.
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