Question

9．求不定积分∫$\frac{dx}{{x}^{2}\sqrt{{x}^{2}-4}}$．

Answer 1

分析 换元x=$\frac{1}{t}$，则dx=（-$\frac{1}{{t}^{2}}$）dt，则原式═-∫$\frac{t}{\sqrt{1-4{t}^{2}}}$dt=$\frac{1}{8}$∫$\frac{1}{\sqrt{1-4{t}^{2}}}$d（1-4t²）=$\frac{1}{4}$$\sqrt{1-4{t}^{2}}$+C，再将t转化成x．

解答 解：令x=$\frac{1}{t}$，则dx=（-$\frac{1}{{t}^{2}}$）dt，
∫$\frac{dx}{{x}^{2}\sqrt{{x}^{2}-4}}$=∫$\frac{1}{\frac{1}{{t}^{2}}\sqrt{\frac{1}{{t}^{2}}-4}}$（-$\frac{1}{{t}^{2}}$）dt=-∫$\frac{t}{\sqrt{1-4{t}^{2}}}$dt，
=$\frac{1}{8}$∫$\frac{1}{\sqrt{1-4{t}^{2}}}$d（1-4t²），
=$\frac{1}{4}$$\sqrt{1-4{t}^{2}}$+C，
=$\frac{\sqrt{{x}^{2}-4}}{4x}$+C，
∫$\frac{dx}{{x}^{2}\sqrt{{x}^{2}-4}}$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}-4}}{4x}$+C．

点评 本题考查微积分基本定理，考查不定积分运算，考查换元法，属于中档题．