Question

复平面上，非零复数z₁，z₂在以i为圆心，1为半径的圆上，

.

z1

•z₂的实部为零，z₁的辐角主值为

π

6

，则z₂=

-

3

2

+

3

2

i

．

Answer 1

分析：利用已知条件求出复数z₁的辐角主值，复数z₁共轭复数的三角形式与z₂的三角形式，通过

.

z1

•z₂的实部为零，求出复数z₂．

解答：解：z₁满足|z-i|=1；argz₁=

π

6

，得z₁=

3

2

+

1

2

i，

.

z1

=cos（-

π

6

）+isin（-

π

6

）．
设z₂的辐角为θ（0＜θ＜π），则z₂=2sinθ（cosθ+isinθ）．

.

z1

•z₂=2sinθ[cos（θ-

π

6

）+isin（θ-

π

6

）]，
若其实部为0，则θ-

π

6

=

π

2

，于是θ=

2π

3

．
z₂=-

3

2

+

3

2

i．
故答案为：-

3

2

+

3

2

i．

点评：本题考查复数的代数形式与三角形式的互化，复数的辐角主值，复数的分类，考查计算能力．