Question

已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（-∞，0]上是减函数，若实数a满足f（a）≤f（2），则a的取值范围是

-2≤a≤2

；a²-2a+2的最大值是

10

．

Answer 1

分析：由题设条件知，可先研究函数的单调性，由函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（-∞，0]上是减函数，可得出函数在（0，+∞）上是增函数，由此判断出实数a的取值范围，再解出a²-2a+2在此范围上的最大值

解答：解：由题 意，由函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（-∞，0]上是减函数，可得出函数在（0，+∞）上是增函数，由此得函数∵f（a）≤f（2），
∴-2≤a≤2
又a²-2a+2=（a-1）²+1，故其最大值为（-2-1）²+1=10，
故答案为-2≤a≤2； 10

点评：本题考查函数奇偶性的性质，解题的关键是根据题设中的条件得出“自变量离原点近则函数值小”由此解出实数a的取值范围，再由配方法解出a²-2a+2的最大值，二次函数求最值时常用配方的技巧，本题 考察了数形结合的思想、转化的思想