Question

已知对任意m∈R，直线x+y+m=0都不是f（x）=x³-3ax（a∈R）的切线，则a的取值范围是（　　）

• A．a＞

  1

  3

• B．a≥

  1

  3

• C．a＜

  1

  3

• D．a≤

  1

  3

Answer 1

分析：求出f（x）导函数的值域，由直线x+y+m=0都不是f（x）=x³-3ax的切线得到-1不属于导函数的值域，得到关于a的不等式，求出解集得到a的取值范围即可．

解答：解：由f（x）=x³-3ax可得f′（x）=3x²-3a∈[-3a，+∞），
∵对任意m∈R，直线x+y+m=0都不是y=f（x）的切线，
∴-1∉[-3a，+∞），
∴-1＜-3a，实数a的取值范围是a＜

1

3

故选C．

点评：本题考查用导数求曲线上某点切线的斜率，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．