Question

【题目】如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；
（Ⅱ）若AD=1，二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值为 ，求二面角B﹣AD﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，

又BD⊥DC，所以DC⊥平面ABD．

因为AB平面ABD，所以DC⊥AB．

又因为折叠前后均有AD⊥AB，DC∩AD=D，

所以AB⊥平面ADC

（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB⊥平面ADC，所以二面角C﹣AB﹣D的平面角为∠CAD．

又DC⊥平面ABD，AD平面ABD，所以DC⊥AD．

依题意 ．

因为AD=1，所以 ．

设AB=x（x＞0），则 ．

依题意△ABD～△BDC，所以 ，即 ．

解得 ，故 ．

如图所示，建立空间直角坐标系D﹣xyz，

则D（0，0，0）， ， ，

， ，

所以 ， ．

由（Ⅰ）知平面BAD的法向量 ．

设平面ADE的法向量

由 得

令 ，得 ，

所以 ．

所以 ．

由图可知二面角B﹣AD﹣E的平面角为锐角，

所以二面角B﹣AD﹣E的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）证明DC⊥AB．AD⊥AB即可得AB⊥平面ADC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB⊥平面ADC，即二面角C﹣AB﹣D的平面角为∠CAD二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值为 ，解得AB，如图所示，建立空间直角坐标系D﹣xyz，求出平面BAD的法向量 ，平面ADE的法向量，即可得二面角B﹣AD﹣E的余弦值
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．