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    已知四棱锥的三视图和直观图如下图所示，其中正视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形.是侧棱上的动点．

    (1)求证：；

    (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.

     

    【答案】

    （1）参考解析；（2）；（3）

    【解析】

    试题分析：（1）要证明，要转到线面垂直，通过观察需证明平面.所以要证明垂直于平面两条相交直线，显然，.从而可得结论.

    （2）要求直线与平面所成角的正弦值，需要找到直线与平面所成的角.通过证明平面平面.即可得到点E到平面的投影在PO（O是AC与BD的交点）上.这样就可以求出直线与平面所成的角，再通运算即可求出结论.本小题也可已建立空间坐标系来求.

    （3）若四点在同一球面上，求该球的体积.依题意可得.只要把图形补齐为一个长方体.外接球的直径就是长方体的对角线长.即可求结论.

    试题解析：（1）证明：由已知

    ,

    又因为，

    (2)解法一：连AC交BD于点O，连PO，由(1)知

    则，为与平面所成的角.

    ,则

    法二：空间直角坐标法，略.

    (3)解：以正方形为底面，为高补成长方体，此时对角线的长为球的直径，

    ,. 

    考点：1.线线垂直.2.线面所成的角.3.割补思想.

     

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    的概率；
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    ①③④
    ①③④
    ．（其中a≠b）
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    ②正四棱锥；
    ③三个侧面均为等腰三角形与三个侧面均为直角三角形的两个三棱锥的简单组合体
    ④有三个侧面为直角三角形，另一个侧面为等腰三角形的四棱锥．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知四棱锥P-ABCD的三视图和直观图如图：
    （1）求四棱锥P-ABCD的体积；
    （2）若E是侧棱PC上的动点，是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．
    （3）若F是侧棱PA上的动点，证明：不论点F在何位置，都不可能有BF⊥平面PAD．

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