Question

设a、b、c分别是△ABC三个内角∠A、∠B、∠C的对边，若向量

m

=(1-cos(A+B)，cos

A-B

2

)，

n

=(

5

8

，cos

A-B

2

)且

m

•

n

=

9

8

，
（1）求tanA•tanB的值；
（2）求

absinC

a2+b2-c2

的最大值．

Answer 1

分析：（1）由

m

•

n

=

9

8

，化简得 4cos（A-B）=5cos（A+B），由此求得tanA•tanB的值．
（2）利用正弦定理和余弦定理化简为

1

2

tanC，而tan(A+B)=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

9

8

(tanA+tanB)，利用基本不等式
求得它的最小值等于

3

4

，从而得到tanC有最大值-

3

4

，从而求得所求式子的最大值．

解答：解：（1）由

m

•

n

=

9

8

，得

5

8

[1-cos(A+B)]+cos2

A-B

2

=

9

8

．…（2分）
即  

5

8

[1-cos(A+B)]+

1+cos(A-B)

2

=

9

8

，
亦即  4cos（A-B）=5cos（A+B），…（4分）
所以  tanA•tanB=

1

9

．…（6分）
（2）因

absinC

a2+b2-c2

=

absinC

2abcosC

=

1

2

tanC，…（8分）
而tan(A+B)=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

9

8

(tanA+tanB)≥

9

8

×2

tanA•tanB

=

3

4

，
所以，tan（A+B）有最小值

3

4

，…（10分） 
  当且仅当tanA=tanB=

1

3

时，取得最小值．
又tanC=-tan（A+B），则tanC有最大值-

3

4

，故

absinC

a2+b2-c2

的最大值为-

3

8

．…（13分）

点评：本题主要考查两个向量数量积公式，正弦定理和余弦定理，两角和的正切公式，以及基本不等式的应用，属于中档题．