Question

【题目】曲线的极坐标方程为（常数），曲线的参数方程为（为参数）.

（1）求曲线的直角坐标方程和的普通方程；

（2）若曲线，有两个不同的公共点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）：，：；（2）

【解析】

（1）根据直角坐标与极坐标关系及题目条件得曲线的直角坐标方程，利用消元法消去t可得的普通方程；

（2）若曲线，有两个不同的公共点，法一：方程联立利用根与系数关系，利用判别式解出即可求实数的取值范围；法二：数形结合可得圆心到直线距离小于半径，解出即可求实数的取值范围.

（1）方法一：由得：.

由得：，即.

∴曲线的直角坐标方程为：，的普通方程为：.

方法二：由得：.

由得：；由得：.

∴.

整理得的普通方程为：.

∴曲线的直角坐标方程为：，的普通方程为：.

（2）方法一：由消得：.

由曲线，有两个不同的公共点得：，解得：.

又当圆：过点时，有，且曲线表示不过点的直线.

∴.

∴实数的取值范围为.

方法二：圆心到直线的距离为：.

由曲线，有两个不同的公共点得：，即.

又当圆：过点时，有，且曲线表示不过点的直线.

∴.

∴实数的取值范围为.