Question

已知命题p：“方程

x2

1 2

+

y2

a

=1是焦点在y轴上的椭圆”，命题q：“关于x的方程ax²+2x+1=0至少有一个负实根”．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：根据椭圆方程的特点求出命题p为真命题的a的范围，再结合二次函数的图象求出命题q为真命题的a的范围，根据复合命题与构成其简单命题真假的关系，通过分类讨论求出a的范围．

解答：解：若命题p为真命题?a＞

1

2

．…3分
关于x的方程ax²+2x+1=0至少有一个负实根
?关于x的方程ax²+2x+1=0有两个负实根或一正一负两根或只有一根且为负数．…5分
①方程有两个负实根?

a≠0 △=4-4a≥0 - 2 a ＜0 1 a ＞0

?0＜a≤1；    …7分
②方程有一正一负两根?a＜0；                     …9分
③方程只有一个根且为负数?a=0．…10分
故命题q为真命题?a≤1．…11分
因为“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，
所以命题p与q恰有一个为真命题．…12分
若p真q假，则a＞1；若p假q真，则a≤

1

2

．…13分
故实数a的取值范围是(-∞，  

1

2

]∪(1，  +∞)．…14分

点评：本题考查复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系；考查结合二次函数的图象解决二次方程的实根分布问题，属于中档题．